آموزش حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از نوع بیضوی

مقدمه

هنگامی که یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیضوی گسسته می شود، نتیجه مستقیم آن یک دستگاه معادله جبری خطی می باشد.روشهای عددی متفاوتی برای برخورد با دستگاه معادلات تفاضل محدود حاصل از معادله دیفرانسیل با مشتقات جزیی بیضوی وجود دارد.

در این متن حل معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی از نوع بیضوی را مورد بررسی قرار می دهیم. یک معادله بیضوی معمولا در مسایل فیزیکی که شامل یک سیستم در حال تعادل می باشد ایجاد می شود. بنابراین متغیر زمان وجود ندارد و در این مسایل پایداری روش تفاضلی نقش اساسی را بازی نمی کند.

توزیع دما در میله

میله ای با طول L ، و سطح مقطع یکنواخت که دمای دو سر انتهایی آن به ترتیب T_L و T_R در سمت چپ و راست می باشد را در نظر بگیرید با تمرکز بر یک المان به طول dx کهب ه فاصله x از انتهای سمت چپ میله واقع شده می توانیم معادلات توزیع دما را پایه ریزی نمائیم .

تمام سطح پیرامونی میله عایق بندی شده می باشد به نحوی که انتقال حرارت تنها در راستای میله انجام می پذیرد .

طبق قوانین حاکم بر انتقال حرارت هدایت می دانیم که نرخ گرما متناسب است با سطح مقطع (A) ضر یب رسانش (k) ، و همچنین گرادیان دما ، بنابراین نرخ انتقال حرارت ورودی به المان در طول x برابر است با

فهرست مطالب:
مقدمه
توزیع دما در میله
Shooting Method
حل به کمک دستگاه معادلات دیفرانسیل
شرایط مرزی از نوع مشتق ( شرایط مرزی نیومن )
حل به کمک روشهای تکرار
تسریع همگرایی در روش لایب من (Liebman)
معادله پواسون
شرط مرزی از نوع مشتق